الاعداد الطبيعية ط

الأعداد الطبيعية ط

يمثل اكتشاف الأعداد الطبيعية natural numbers إحدى عبقريات العقل البشري. وقد كان الغرض الرئيسي من اكتشافها هو الإجابة عن السؤال «كم؟». وقد سميت المجموعة التي توفر الإجابة عن هذا السؤال مجموعة أعداد العد counting numbers وهي {1، 2، 3،...}. ومما تجدر الإشارة إليه أن العدد «صفر» لم يكتشف إلا بعد قرون عدة من اكتشاف أعداد العد مع أنه لازم أيضاً للإجابة عن السؤال «كم؟» وقد أُطلق على المجموعة المؤلفة من أعداد العد والصفر اسم «مجموعة الأعداد الطبيعية» أو «مجموعة الأعداد الصحيحة غير السالبة».

ثمة طرائق عدة لتعريف هذه المجموعة، التي يرمز لها بـ ط، منها تلك التي تستخدم موضوعات الرياضي الإيطالي جوزيبي بيانو (1858- 1932م) Giuseppe Peano التالية:

1 ـ يوجد تطبيق تا: ط ! ط بحيث يقابل كل عنصر س من المجموعة ط وفق تا لاحقة الوحيد س+= تا (س). وهذا التطبيق متباين، أي أنه إذا كان لعنصرين س، ع من ط عنصر لاحق واحد، أي إذا كان س+= ع+ ، فإن س=ع.

2 ـ يوجد عنصر من المجموعة ط، يسمى صفراً، ونرمز له بـ \ (أو بنقطة .) لايمثل لاحقاً لأي عنصر من عناصر ط.

3 ـ كل مجموعة جزئية من ط حاوية للصفر وللاحق كل عنصر منها يجب أن تتطابق مع المجموعة ط.

لما كان لكل عنصر عنصر لاحق، فإنه يوجد عنصر لاحق للصفر، يرمز له بـ1، ويسمى واحداً. وإذا كان س+ العنصر اللاحق لِـ س، فإن س يسمى سابق س+. يوجد لكل عدد طبيعي مغاير للصفر عنصر سابق وحيد.

لإثبات هذه الدعوى، يلاحظ أولاً أنه لما كان لاحق الصفر العدد 1، أي أن \ +=1 ، فإن \ هو العنصر السابق للعدد 1. ومن جهة أخرى، فإذا وُجد لـ ن عنصر سابق فإن للعدد ن+، أي للاحق ن، عنصراً سابقاً هو ن، وهلم جراً. وهكذا فإنه يوجد لكل من الأعداد التي تلي ن عنصر سابق. ولما كان يوجد للعدد 1 عنصر سابق، فإنه يؤخذ ن = 1، وعندئذ يوجد لكل من أعداد المجموعة ط المغايرة للصفر عنصر سابق. وهذا العنصر وحيد، لأنه إذا افترض جدلاً أن ثمة عنصراً ن من ط له عنصران سابقان مختلفان ك، ل فإنه ينتج عندئذ أن ك+=ل+=ن. ويقتضي هذا استناداً إلى الموضوعة 1 أن ك= ل، وهذا خُلْفٌ (أي إن ذلك أدى إلى تناقض).

العمليات على المجموعة ط

الجمع: يمكن تعريف هذه العملية الداخلية على المجموعة ط موضوعاتياً (أي استناداً إلى عدد من الموضوعات) على نحو ينسجم مع المفهوم الحدسي للجمع. فإذا كان م، ن أي عددين طبيعيين فإنه: ن+\=ن، ن+م+=(ن+م)+. يترتب على هذا التعريف الخواص التالية:

ن+1=ن+\+=(ن+\)+=ن+ ، أي أن ن+1=ن+

وهكذا فإن لاحق عدد طبيعي هو العدد الذي يليه بالمعنى المألوف لهذا الكلام. ومن جهة أخرى، فإذا أعطي عدد طبيعي مثبت ن، فإنه ينتج أن ن+0=ن، ن+1=ن+. وإذا كانت مـ مجموعة الأعداد الطبيعية م التي يكون فيها المجموع ن+م معرفاً، أي يمكن حسابه، فإن معرفة ن+م تقتضي معرفة ن+م+=(ن+م)+=(ن+م)+1. لذا فإن المجموعة مـ تتطابق والمجموعة ط (وفق الموضوعة 3) لأنها تحوي الصفر ولأنها تحوي م+1 عند احتوائها م نظراً لأن المساواة الأخيرة تبين أن: (ن+م)+1=ن+(م+1)

تجميعية عملية الجمع: إن المساواة ن+0=ن تقتضي أن يكون:

م+(ن+0)=م+ن=(م+ن)+0 لذا فالمساواة م+(ن+هـ)=(م+ن)+هـ صحيحة عندما هـ =0، ولو افترضت صحتها لأجل هـ، فإن:

م+(ن+هـ+)=م+(ن+هـ)+=[م+(ن+هـ)]+=[(م+ن)+هـ]+=(م+ن)+هـ+

وهذا يعني أنها صحيحة أيضاً لأجل هـ+، ومن ثم فإنها صحيحة أياً كان العدد الطبيعي هـ (استناداً إلى الموضوعة3).

تبادلية عملية الجمع: يمكن إثبات هذه الخاصة على ثلاث مراحل:

ـ المساواة ن+0=0+ن. إنها صحيحة عندما ن=0، ولو افترضت صحتها لأجل ن، فإنه ينتج أن: ن++0=ن+=(ن+0)+=(0+ن)=0+ن+

لذا فإنها صحيحة لأجل ن+، ومن ثم فإنها صحيحة أياً كان العدد الطبيعي ن (الموضوعة 3).

ـ المساواة ن+1=1+ن. إنها صحيحة عندما ن=0 استناداً إلى ما سبق. ولو افترضت صحتها لأجل ن، فإنه يكون:

ن++1=(ن+1)+1=(ن+1)+=(1+ن)+=1+ن+

إذن فهي صحيحة لأجل أي عنصر ن من المجموعة ط.

ـ أخيراً المساواة ن+م=م+ن. هذه المساواة صحيحة عندما ن=0، ولو كانت صحيحة عند تثبيت م وافتراض ن عدداً طبيعياً ما، فإنه ينتج أن:

ن++م=(ن+1)+م=ن+(1+م)=ن+(م+1)

لأنه سبق وتبين أن ن+=ن+1. عندئذ ينتج استناداً إلى تجميعية عملية الجمع أن:

ن++م=(ن+م)+1=(م+ن)+1=م+(ن+1)=م+ن+

لذا فإن ن+م=م+ن مساواة صحيحة أياً كان العنصر ن من ط.

يلاحظ أن كل هذه البراهين تستند حصراً إلى موضوعات بيانو وتعريف عملية الجمع.

انتظام عملية الجمع: يفترض أن كل عنصر في المجموعة ط منتظم بالنسبة لعملية الجمع، بمعنى أن

م+ن=هـ+ ن Û م=هـ

والعنصر ن، في هذا التكافؤ المنطقي، هو العنصر المنتظم.

الضرب: تعرف عملية الضرب موضوعاتياً كما يلي: إذا كان ن، م أي عددين طبيعيين، فإن ن×0-0، ن×م+=(ن×م)+ن هذا ويرمز أحياناً للعدد ن×م بالشكل ن م.

وكما هي الحال في عملية الجمع، فإن هذين التعريفين ينسجمان مع معارفنا الحدسية، ويمكّنان ببساطة، من إيجاد جداء (أي حاصل ضرب) عددين طبيعيين. وعلى سبيل المثال، فإن

ن×1=ن×0+=ن×0+ن=0+ن=ن

أي إن ن×1=0 كذلك فمن الممكن التحقق من صحة الخواص التالية:

ـ عملية الضرب توزيعية من اليمين ومن اليسار بالنسبة لعملية الجمع:

هـ (م+ن)=هـ م+هـ ن=(م+ن) هـ=م هـ+ن هـ

ـ عملية الضرب تجميعية: ن (م هـ)=(ن م) هـ

ـ عملية الضرب تبديلية: ن م=م ن

ـ الصفر عنصر ماص absorbant في عملية الضرب، ويعني هذا أنه أياً كان العدد الطبيعي ن فإن:

\ ×ن =

ـ جداء عددين طبيعيين غير صفريين هو عدد غير صفري:

م ن¹ 0 Û م¹0 وَن¹0

أو

م ن¹ 0 Û م ¹ 0 أو ن ¹

ـ كل عدد غير صفري منتظم بالنسبة لعملية الضرب:

م ن=هـ ن Û م=هـ(ن ¹ 0)

ـ العدد 1 عنصر محايد بالنسبة لعملية الضرب:

1 ×ن = ن

بنية الترتيب للمجموعة ط

يمكن تعريف علاقة ترتيب في المجموعة ط على النحو التالي:

الشرط اللازم والكافي كي تتحقق العلاقة ن ≥ م بين عددين طبيعيين ن، م هو أن يوجد عدد طبيعي هـ بحيث يكون ن= م+هـ.

هذا ويُقرأ الرمز ن ≥ م على النحو «ن أكبر من م أو يساويه» أو اختصاراً «ن أكبر من م» (المساواة تَرِد عندما هـ=0). وينسجم هذا التعريف مع المفهوم الحدسي للمتراجحة، بمعنى أن ن يكون أكبر من م إذا كان ن مساوياً للعدد م مضافاً إليه عدد آخر. ومن جهة أخرى، فإن ≥ هي علاقة ترتيب بالمعنى الواسع، أي إنها انعكاسية ومتخالفة التناظر ومتعدية، أي إن:

آ ـ ن≥ ن، لأن ن = ن +\(خاصة الانعكاس). ب ـ ن≥م وَ م ≥ ن Û ن = م + و وَ م = ن + هـ Ü ن = ن + هـ + و Ü هـ + و = \ Ü هـ = \ Ü ن = م

وهكذا فإنه ينتج أن المتراجحتين ن ≥ م، م ≥ ن تقتضيان المساواة ن = م (خاصة تخالف التناظر).

جـ ـ ن ≥ م Ü ن = م + هـ؛ م ≥ ر Ü م = ر + ك Ü ن = ر + (هـ + ك) Ü ن ≥ ر.

وهكذا فإن المتراجحتين ن ≥ م، م ≥ ر تقتضيان المتراجحة ن ≥ ر (خاصة التعدي).

تعرّف على المجموعة ط علاقة ترتيب > بالمعنى الضيق كذلك، إذ إنها تكون متخالفة التناظر ومتعدية فقط. وهكذا فإن الشرط اللازم والكافي كي تتحقق العلاقة ن > م بين عددين طبيعيين ن، م هو أن يوجد عدد طبيعي هـ مغاير للصفر بحيث تكون ن = م + هـ . ومن الواضح أن هذه العلاقة تشترط أن يكون هـ ¹0، ويمكن التعبير عن هذا بأن نكتب هـ э ط*، حيث ط*=ط-{0}. هذا ويقرأ الرمز ن > م على النحو «ن أكبر تماماً من م».

تنسجم علاقة الترتيب مع عمليتي الجمع والضرب في المجموعة ط، بمعنى أنه إذا كان ن، م أي عددين طبيعيين يحققان المتراجحة ن ≥ م، وكان هـ أي عدد طبيعي، فإن ن+هـ≥ م + هـ؛ ن هـ ≥ م هـ. ومن الضروري التحدث عن تحديد مايتعلق بالانسجام مع عملية الضرب في حال علاقة الترتيب بالمعنى الضيق، ذلك أن هـ عند ذلك يجب أن يكون مغايراً للصفر: هـ ¹ \، ن < م Ü ن هـ >م هـ . لكنه لو لم يكن العدد هـ معروفاً، فإن المتراجحة ن > م قد تقتضي المساواة ن هـ = م هـ، وذلك عندما يكون هـ =\

إن بنية الترتيب على المجموعة ط هي بنية ترتيب كلي، وهذا يعني أن أي عنصرين ن، م من المجموعة ط هما دوماً متقارنان، أي إنه إذا كان ن، م أي عددين طبيعيين، فإما أن يكون ن ≥ م أو أن يكون ن ≤ م.

يطلق اسم العنصر الراجح (الراجح تماماً، القاصر، القاصر تماماً) لمجموعة جزئية من المجموعة ط على كل عنصر من ط أكبر أو يساوي (أكبر تماماً، أصغر أو يساوي، أصغر تماماً) جميع عناصر المجموعة الجزئية.

إن لاحق عدد طبيعي ن هو أصغر عناصره الراجحة تماماً، وسابقه إن وجد (وهذا السابق ليس له وجود في حال الصفر) هو أكبر عناصره القاصرة تماماً. وكل مجموعة جزئية غير خالية من ط تحوي عنصراً أصغر وحيداً (وهو أصغر من جميع العناصر الأخرى). وكل مجموعة جزئية من ط غير خالية ولها عنصر راجح تحوي عنصراً أكبر وحيداً (وهو أكبر من جميع العناصر الأخرى).

يقال عن مجموعة إنها منتهية إذا وجد تقابل بينها وبين مجال[1، ن] من المجموعة ط. وعندئذ يسمى ن العدد الأصلي (أو الكاردينالي) لهذه المجموعة. وإن الاجتماع والتقاطع والجداء الديكارتي لمجموعتين منتهيتين هي مجموعات منتهية، وإذا رمزنا للعدد الأصلي لمجموعة س بالشكل عأس فإن:

عأس+عأع=عأ(سÈع)+عأ(سÇع)

قسمة الأعداد الطبيعية

إذا كان أэ ط، ب э ط، فإن أ يكون مضاعفاً للعدد ب إذا وجد عنصر ك من ط بحيث يكون أ = ب ك، أي إذا انتمى أ إلي المتتالية

طب={0، ب،2ب، 3ب،...،ن ب،...}،(ن э ط)

ويقال أيضاً إن ب يقسم أ، أو إن ب قاسم للعدد أ، ويرمز لهذا بالشكل أ/ب، ويقرأ كما يلي: «ب يقسم أ». يسمى العدد ك حاصل قسمة أ على ب، وعندئذ تكتب المساواة أ/ب=ك التي تكافئ أ = ب ك.

إن علاقة قابلية القسمة في المجموعة ط هي:

ـ انعكاسية: ذلك أن أ = أ× 1

ـ متخالفة التناظر: ذلك أنه إذا كان أ¹ \، ب ¹ \ فإن المساواتين أ=ب ك، ب=أ كَ تقتضيان أ=أ ك كَ، ومن ثم يكون ك كَ=1، لذا فإن ك=كَ=.1 إذن أ=ب.

ـ متعدية: ذلك أن أ=ب ك، ب= جـ كَ تقتضيان أ= جـ(ك كَ)، إذن جـ/أ

وهكذا فإن هذه العلاقة هي علاقة ترتيب بالمعنى الواسع. بيد أن هذا الترتيب جزئي، ذلك أنه إذا أعطي عددان طبيعيان اختياريان أ، ب، فليس من الضروري أن يقسم أ العدد ب، أو أن يقسم ب العدد أ. يفرض مثلاً أن العدد أ يقع بين عددين من المتتالية طب.

عندئذ يمكن أن يكتب أ = ب ك + ر، حيث ب > ر>\ ، والعدد ك غير صفري إذا كان أ > ب، أما إذا كان أ < ب، فإن ك= 0 ويكون أ = ر. يمكن تلخيص هذا بمتطابقة واحدة هي أ = ب ك + ر حيث ب > ر≥\ ، وذلك سواء أكان العدد ب قاسماً للعدد أ أم غير قاسم له. وفي هذه المتطابقة، يسمى ك حاصل القسمة، ر الباقي، أ المقسوم، ب القاسم (أو المقسوم عليه).

خواص القسمة:

أ ـ إذا ضرب القاسم والمقسوم بعدد واحد، فإن حاصل القسمة لا يتغير، وأما الباقي فإنه يضرب بهذا العدد. وإذا قسّم القاسم والمقسوم على عدد واحد، إن كان ذلك ممكناً، فإن حاصل القسمة لا يتغير، وأما الباقي فيقسم على هذا العدد.

ب ـ لتشكيل حاصل قسمة العدد أ على الجداء ب جـ يمكن تقسيم أ على ب، ثم تقسيم حاصل القسمة الناتج على جـ (أو بالعكس). ويمكن تعميم هذه الخاصة على قسمة عدد أ على جداء ن من العوامل، علماً بأن ترتيب عمليات القسمة اختياري ولا يؤثر في النتيجة.

جـ ـ عند تزايد المقسوم مع بقاء القاسم من دون تغيير، فإن حاصل القسمة يبقى على حاله أو يكبر.

قابلية القسمة على ط

لعدد الأولي: هو عدد مختلف عن العدد 1، ولا يقسمه إلا 1 والعدد نفسه.

والعدد المركب هو عدد من المجموعة ط لايساوي 1 وليس أولياً. وكل عدد مركب يقبل قاسماً أولياً واحداً على الأقل. والعددان الأوليان فيما بينهما هما عددان قاسمهما المشترك الوحيد هو 1.

آ ـ العدد الأولي هو أولي مع كل عدد لا يقسمه هذا العدد الأولي.

ب ـ كي يقسم عدد أولي جداء عدة عوامل أياً كان عددها، يلزم ويكفي أن يقسم واحداً منها على الأقل.

حـ ـ كي يقسم عدد أولي جُداء عدة عوامل أولية يلزم ويكفي أن يكون هذا العدد مساوياً أحد هذه العوامل.

د ـ يحلَّلُ كلُّ عدد مركب إلى جداء عوامل أولية مختلفة أو متطابقة، وهذا التحليل وحيد.

هـ ـ إذا أُعطي عددان طبيعيان أ، ب، فإن القواسم المشتركة لهما تتطابق وقواسم عدد ق هو القاسم المشترك الأكبر للعددين أ، ب، ويرمز له بالشكل ق = أ Ù ب . وإذا حلّل العددان أ، ب إلى جداء عواملهما الأولية، فإن قاسمهما المشترك الأكبر هو جداء عواملهما المشتركة بحيث يؤخذ العامل المشترك ذو القوة الأقل في التحليلين. والقاسم المشترك الأكبر للعددين أَ=أ/ق، بَ=ب/ق هو 1، وهما أوليان فيما بينهما إذ إن أ/قÙب/ق=1.

وهذه المساواة مميزة للقاسم المشترك الأكبر لعددين، ذلك أن الشرط اللازم والكافي كي يكون القاسم المشترك قَ لعددين أ، ب قاسمهما المشترك الأكبر هو أن يكون أ/قَÙب/قَ=1.

إذا ضُرب (قُسّم عند إمكان ذلك) عددان أ، ب بعدد (على عدد) ثالث ك فإن القاسم المشترك الأكبر لهما يُضْرَبُ (يُقَسَّمُ) بهذا (على هذا) العدد. أما لو ضرب (قُسّم) أحد هذين العددين بعدد (على عدد) أولي مع الآخر، فإن القاسم المشترك الأكبر للعددين أَ، ب أو للعــديين أ، بَ (أ= ك أ بفرض ك Ù ب =1 أو بَ = ك Ùب بفرض أ Ù ك =1) يساوي أ Ù ب.

مبرهنات أساسية حول القسمة: إذا قَسَمَ عددٌُ جداء عاملين، وكان هذا العدد أولياً مع أحدهما، فإنه يقسم الآخر. يستخلص من هذا أنه إذا كان عددٌ قابلاً للقسمة على أعداد، كل اثنين منها أوليان فيما بينهما، فإنه يقبل القسمة على جداء هذه الأعداد.

آ ـ إذا أعطيت عدة أعداد طبيعية عددها لا يقل عن ثلاثة، وُجد عدد ق هو القاسم المشترك الأكبر لها. والقواسم المشتركة لهذه الأعداد هي جميع قواسم ق. وتسري خواص القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين، والتي ذكرناها آنفاً، على حالة أي عددٍ منته من الأعداد الطبيعية.

ب ـ إذا أُعطي عددان طبيعيان غير صفرين أ، ب وُجد مضاعف مشترك م للعددين أ، ب بحيث تكون المضاعفات المشتركة لهذين العددين هي مضاعفات م (لذا فثمة عدد غيرمنتهٍ منها). يسمى م المضاعف المشترك الأصغر للعددين أ، ب ويرمز له بـ أ Úب.

لدينا أ ب = ق م، حيث ق = أ Ù ب، م = أ Ú ب. يترتب على هذا أنه إذا كان أ، ب أوليين فيما بينهما، فإن أ Ù ب = ق =1، م = أ ب، أي إن المضاعف المشترك الأصغر للعدديين أ، ب، يساوي جداءهما. وبوجه عام، فإن المضاعف المشترك الأصغر لعددين أ، ب ينتج بأخذ جداء العوامل المشتركة وغير المشتركة الواردة في تحليلي هذين العددين إلى جداءات عواملهما الأولية بحيث يؤخذ العامل المشترك ذو القوة الكبرى في التحليلين. وإذا ضُرب (قُسّم عند إمكان ذلك) عددان طبيعيان بعدد (على عدد)، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهما يضرب (يقسم) بهذا (على هذا) العدد.

وكي يكون مضاعف مشترك مَ لعددين أ، ب هو المضاعف المشترك الأصغر لهما، فإنه يلزم ويكفي أن يكون مَ/أ Ù مَ/ب=1 ، أي أن يكون العددان مَ/أ، مَ/بأوليين فيما بينهما.

جـ ـ إذا أُعطيت عدة أعداد طبيعية عددها لايقل عن ثلاثة، وُجد عدد م هو المضاعف المشترك الأصغر لهما. والمضاعفات المشتركة لهذه الأعداد الطبيعية هي مضاعفات م. وتسري خواص المضاعف المشترك الأصغر لعددين طبيعيين، والتي ذكرت آنفاً، على حالة أي عدد منتهٍ من الأعداد الطبيعية.

شروط قابلية القسمة: إن أشهر الشروط هي شروط قابلية القسمة على 2، 5، 4، 25، 3، 9، 11.

ـ يقبل العدد القسمة على 2 إذا كان آحاده 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8.

ـ يقبل العدد القسمة على 5 إذا كان آحاده صفراً أو خمسة.

ـ يقبل العدد القسمة على 4 إذا كان العدد المكون من آحاده وعشراته أحد الأعداد المشكلة للمتتالية 00، 04، 08، 12، 16، ...،92، 96.

ـ يقبل العدد القسمة على 25 إذا كان العدد المكون آحاده وعشراته 00 أو 25 أو 50 أو 75.

آ ـ باقي قسمة عدد على 3 أو 9. إن العدد الذي يكتب في النظام العشري بالشكل

أ = ب ب1ب2....بن-1 بن يساوي ب +10ب1 + 10 2 ب2+.....+10 ن-1 بن-1 + 10 ن بن

ولما كان 10= 9 + 1= 3× 3 + 1، فإن 10 «موافق لـ 1 مقا 9 ومقا 3»، ويرمز لهذا بالشكل:

10 º
1(9) و 10 º 1 (3)

كذلك فإن

10 ل º
1(3) و 10 ل º 1 (3)

لذا فإن 10ل بل º بل. إذن

أ º ب +ب1 + ب2 +...+ ب ن-1 + ب ن

وهكذا فإن باقي قسمة عدد أ مكتوب في النظام العشري على 9 أو على 3 يساوي باقي قسمة مجموع أرقام هذا العدد على 9 أو على 3

ب ـ شرط قابلية القسمة على 3 أو على 9: كي يقبل عدد القسمة على 3 أو على 9، يلزم ويكفي أن يكون مجموع أرقامه قابلاً للقسمة على 3 أو على 9 بالترتيب.

جـ ـ شرط قابلية القسمة على 11: كي يقبل عدد القسمة على 11 يلزم ويكفي أن يكون مجموع أرقامه ذات الترتيب الفردي ومجموع أرقامه ذات الترتيب الزوجي موافقين لـ 1 مقا 11، حيث يقال عن عدد ب إنه موافق لعدد آخر جـ مقا د إذا كان |ب-جـ| قاسماً لـ د.

مثال: إن العدد أ = 5467883014 قابل للقسمة على 11، ذلك أن

4+0+8+7+4 º
1+3+8+6+5 º
1 (11)

الأعداد الأولية

1 ـ إن مجموعة الأعداد الأولية غير منتهية: وفي الحقيقة، فإن الأعداد 2، 3، 5، 7، 11، ... أولية. ليكن هـ أكبر عدد أولي معروف، وليكن أ = 2×3× 5× …× هـ +1، حيث يكون 2× 3× 5× …× هـ جداء كل الأعداد الأولية التي تصغر هـ أو تساويه، من الواضح أن أ > هـ، ومن ثم فإذا تبين أن أ عدد أولي، فإنه بذلك يكون قد أثبت وجود عدد أولي أكبر من هـ. إذا لم يكن أ عدداً أولياً، فسيكون له قاسم أولي هـَ لايمكن أن يساوي أياً من الأعداد 2 ، 3 ، 5،…، هـ، ذلك أنه إذا لم يصح ذلك، فإن هـَ الذي يقسم كلاً من أ والجداء 2× 3× …× هـ يجب أن يقسم حاصل طرحهما 1، وهذا غير ممكن لذا يوجد عدد أولي أكبر من هـ، ومن ثم فإن مجموعة الأعداد الأولية غير منتهية. إلا أن هذه الأعداد تقل «كثافتها» كلما كبرت. وقد تبين أن كمية الأعداد التي هي أصغر من س تسعى نحو س/لعe س عندما يسعى س إلى اللانهاية مع بقائه طبيعياً، وهذا ينسجم مع حقيقة وجود عدد غير منته من الأعداد الأولية، ذلك أن س/لعe س يسعى إلى اللانهاية عنما يسعى س إلى اللانهاية (سواء أكان س طبيعياً أم لا).

ويمثل المقدار 1/لعe س إذا صح القول كثافة الأعداد الأولية في جوار س، أو احتمال كون س عدداً أولياً. وهذا الاحتمال يسعى إلى الصفر مع 1/س. وهكذا فثمة فترات (مجالات) من المجموعة ط كبيرة بقدر ما نشاء لا يوجد في أي منها عدد أولي.

مثال:

إن العدد أن=(ن+1)!+1 أولي أحياناً، ومركب أحياناً أخرى (عندما ن = 3 مثلاً). بيد أن الأعداد

(ن+1)!+2، (ن+1)!+3، ...،(ن+1)!+ن+1

مركبة جميعها، ذلك أنها قابلة للقسمة على الأقل على2،3،...،ن+1 بالترتيب. وهكذا فهذه هي متتالية من الأعداد المركبة. ولما كان من الجائز اختيار ن كبيراً بقدر مانبغي، فمن الممكن مثلاً أن يساوي بليوناً. عندئذ من الواضح أنه لايوجد بين الأعداد المركبة المتتالية السابقة والتي عددها بليون أي عدد أولي.

إن موضوع الأعداد الأولية مازال محاطاً بالغموض وزاخراً بخصائص غريبة، تمّ إثبات بعضها، في حين بعضها الآخر مازال مخمناتٍ لم يجر التوثق من صحتها أو خطئها حتى الآن.

2 ـ غربال إيراتوستين

يحدد هذا الجدول الأعداد الأولية التي تصغر العدد 120 على النحو التالي:

ـ العدد 2 أولي، أما الأعداد الزوجية الأخرى فهي مركبة، وهي ملونة في هذا الجدول.

ـ العدد 3 أولي، وقد لونت جميع مضاعفات 3 التي لم يسبق تلوينها كمضاعفات للعدد 2.

ـ العدد 5 أولي، وقد لونت الأعداد المنتهية بـ 5 لأنها من مضاعفاته. وبعضها مثل 15 من مضاعفاته ومضاعفات 3، أما تلك التي تبدأ بالصفر فقد لُوِّنَت لأنها مضاعفات للعدد 2.

ـ العدد 7 أولي، لذا لونت مضاعفات 7 التي لم تُلَوّن من قبل (وأول مضاعفات 7 الذي لم يسبق تلوينه هو 7× 7= 49)، ذلك أن المضاعفات السابقة لُوّنت لأنها مضاعفات لـ 2، 3، 5.

ـ العدد 11 أولي، وأول مضاعف غير ملون للعدد 11 هو 11× 11 الذي يخرج عن إطار الجدول.

وهكذا تكون قد تلونت كل الأعداد المركبة التي تصغر العدد 120، ومن ثم فإن جميع الأعداد التي لم يتم تلوينها هي أعداد أولية. ويطلق على هذه الطريقة اسم غربال إيراتوستين Eratosthenes وهي تمكن، نظرياً على الأقل، من تحديد الأعداد الأولية إلى أي مدى نشاء.

المعادلات الديوفنطية Diophantine equations

قد يكون ديوفانطوس Diophantos الاسكندري (الذي يعتقد بأنه عاش في القرن الثالث الميلادي تقريباً) أول من اهتم بحل معادلات جبرية معينة تقع حلولها ضمن مجموعة الأعداد الطبيعية. ومن المعلوم أنه منذ العصر البابلي، كانت بعض حلول معادلة فيثاغورس (القرن السادس قبل الميلاد).

س2+ع2=ص2 (1)

معلومة، مثل الحل س= 3، ع=4، ص=5، والحل س=5، ع=12، ص=.13

وكل حل للمعادلة (1) هو بالضرورة من الشكل

س=م2-ن2، ع=2م ن، ص=م2+ن2 (2)

حيث يكون م، ن عددين طبيعيين بحيث تتحقق المتراجحة م ≥ ن، وذلك كي ينتمي العدد س إلى ط ويكون هذان العددان أوليين فيما بينهما وليسا فرديين معاً. عندئذ يكون كل حل من النمط (2) حلاً للمعادلة (1). يبين الجدول التالي بعض حلول المعادلة (1) لأجل بعض القيم البسيطة للعددين م، ن.

م
ن
س
ع
ص

2
1
3
4
5

3
2
5
12
13

4
3
7
24
25

5
4
9
40
41

6
5
11
60
61

وعندما يكون ن > 2 فلا يوجد حل للمعادلة:

سن+عن=صن

في المجموعة ط. ويشكل هذا الأمر مُخَمَّنَة اقترحها بيير دوفيرما (1601- 1665م) Pierre de Fermat الذي تمكن من إثباتها لأجل قيم صغيرة للأس ن. وقد كتب ديوفانطوس في هامش إحدى أوراقه مايلي: «من المستحيل كتابة مكعب عدد على شكل مجموع مكعبي عددين، ولا كتابة عدد مرفوع للقوة الرابعة على شكل مجموع عددين كل منهما مرفوع للقوة الرابعة. وبوجه عام، لايمكن التعبير عن عدد مرفوع لقوةٍ أعلى من الرابعة إلى مجموع عددين كل منهما مرفوع للقوة نفسها. وقد توصَّلْتُ إلى إثبات رائع حقاً لهذا الأمر، بيد أن هذا الهامش أضيق من أن يتسع لهذا الإثبات».

أنظمة العد

ترمي مسألة العد إلى كتابة جميع الأعداد باستعمال مجموعة محددة من الرموز (وهذه في الحقيقة هي مهمة كل لغة مكتوبة). والرموز هنا هي الأرقام التي تكتب بالشكل 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9. وتختلف الرموز المستعملة من نظام عدّ إلى آخر:

ـ ففي النظام الثنائي تستعمل المجموعة {0، 1}.

ـ وفي نظام العد العشري تستعمل المجموعة { ، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9}.

ـ وفي نظام العد الاثني عشري duodecimal تستعمل المجموعة {، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9،α، β}.

ويكتب الأساس في جميع أنظمة العد بالشكل 10، وهذا الأساس هو اثنان، عشرة، اثنا عشر في الأنظمة الثنائية والعشرية والاثني عشرية على التوالي. وفي كل نظام أساسه أ يكتب العدد بالشكل

س
=
ب0ب1...ب ن-1 ب ن

حيث ترمز الحدود بل(ل=1،0،...،ن-1،ن) إلى أرقام، وحيث يعني الخط الأفقي الذي يعلو هذه الأرقام أن هذه الأرقام غير مضروبة بعضها ببعض وأنها تساوي:

س=ب0+ب1+...+ب ن-1أن-1+بن أن

أي أنها حدودية في أ. وفي النظام العشري فإنه ينتج مثلاً بعد حذف الخط أن

482 67 =2×10 0+8×10 1+4×10 2+7×10 3+6×10 4

=2+80+400+7000+60000

ـ إن العدد 6413 المكتوب بالنظام الذي أساسه 7 يمكن أن يكتب بالنظام العشري كما يلي:

6413 =3×7 0+1×7 1+4×7 2+6×7 3

=3+7+4×49+6+343

=2264 (في النظام العشري)

ـ إن العدد 675 المكتوب في النظام العشري يمكن أن يكتب في النظام الذي أساسه 5 على النحو التالي:

675 =5×135+0

=5(5×27)+0

=5×5(5×5+2)+0

=5 4+2×5 2+0

=0+0×5 1+2×5 2+0×5 3+1×5 4

=10200

والأرقام الواردة في العدد 10200 من اليمين إلى اليسار هي بواقي عمليات القسمة المتعاقبة على 5 إضافة إلى حاصل القسمة الأخير 1.

وللانتقال من نظام أساسه أ إلى نظام أساسه أَ، فإنه يستحسن أن يتم هذا الانتقال من خلال النظام العشري.

الأعداد الكاملة والمتحابة

العدد الكامل (أو التام) هو ذلك العدد الذي يساوي مجموع قواسمه بما فيها الواحد وباستثناء العدد نفسه. وكل عدد أكبر من مجموع قواسمه يسمى ناقصاً، أما إذا كان أصغر من مجموع قواسمه، فإنه يسمى عدداً زائداً.

وعلى سبيل المثال، فإن العددين

ك1=6=1+2+3=2(2 2-1)

ك2=28=1+2+4+7+14=2 2(2 3-1)

كاملان، وكذلك الأعداد

ك3=496=2 4(2 5-1)

ك4=8128=2 6(2 7-1)

ك5=33550336=2 12(2 13-1)

تنتهي هذه الأعداد بـ 6 وبـ 8 بالتناوب، إلا أن ك6 ينتهي أيضاً بالعدد 6، وليس بالعدد 8. وفضلاً عن ذلك، وهذا هو الأهم، فإن كل هذه الأعداد من الشكل 2هـ-1(2هـ-1)2-

كما أن هـ عدد أولي؛ هـ = 2، 3، 5، 7، ويأتي بعد 7 العدد الأولي 13، أما من أجل العدد هـ = 11 فلا يوجد عدد كامل، وأخيراً فيمكن التحقق من أنه حتى ك5 يكون العدد 2هـ-1 أولياً كذلك.

وقد بين الرياضي السويسري ليونارد أولر (1707-1783) Leonhard Euler أن كل الأعداد الكاملة الزوجية هي بالضرورة من الشكل 2هـ-1(2هـ-1) حيث 2هـ-1 أولي، وهذا لايمكن أن يحدث مالم يكن هـ أولياً. إلا أنه مثلاً عندما يكون هـ =11 فإن

2 هـ-1=2 11-1=23×89 ليس أولياً، كما أن 2 10(2 11-1) ليس كاملاً.

ومن ناحية أخرى، فقد بين الرياضي اليوناني إقليدس Euclid (القرن الثالث قبل الميلاد) أنه إذا كان 2هـ-1 عدداً أولياً فإن العدد ك= 2هـ-1(2هـ-1) كامل. وفي الحقيقة، فإن مجموع قواسم ك، بما فيها ك، يساوي

ينتج من هذا أن مجموع قواسم ك، عند استثناء ك، يساوي ك. ومن ثم فإن ك عدد كامل. ويؤول البحث في الأعداد الكاملة الزوجية إلى دراسة الأعداد من الشكل 2هـ-1 حيث هـ عدد أولي.

وحتى عام 1952م لم يكن معروفاً سوى ثمانية أعداد كاملة، لم يعرف اليونانيون سوى أربعة منها. إلا أنه منذ ذلك العام اكتشف 11 عدداً (كبيراً جداً) أخر عُرف آخرها عام 1964.

وتجدر الإشارة إلى أن علماء الحضارة الإسلامية قدموا إسهامات مهمة في نظرية الأعداد. ويذكر منهم على سبيل المثال لا الحصر، ثابت بن قرة، ومحمد بن الحسن الكرخي، والسموأل بن يحيى المغربي الذين بحثوا في الأعداد الكاملة والناقصة والزائدة. وفضلاً عن هذه الأعداد، فقد عرفوا الأعداد المتحابة، إذ قالوا عن عددين إنهما متحابان إذا كان مجموع قواسم أحدهما (بما فيها الواحد وباستثناء العدد نفسه) يساوي الثاني، وكان مجموع قواسم الثاني يساوي الأول. فالعددان 220، 284 متحابان لأن قواسم الأول هي 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 10 ، 11 ، 20 ، 22 ، 44 ، 55، 110، ومجموعهما 284، كما أن قواسم الثاني وهي 1 ، 2 ، 4 ، 71 ، 142 ومجموعها 220. وقد توصل ثابت بن قرة إلى قاعدة لإيجاد هذه الأعداد.

أسماء لامعة في نظرية الأعداد

ـ محمد بن الحسن أبو بكر الكرخيّ من أعظم الرياضيين الذين ظهروا في بداية القرن الخامس للهجرة، ويعده الكثير من مؤرخي العلوم من الأفذاذ، حتى إن المستشرق سميث قال عنه في كتابه تاريخ الرياضيات: «إن الكرخي من أعظم الرياضيين الذين كان لهم أثر حقيقي في تقدم العلوم الرياضية». وقد عرف فضله على الرياضيات بعامة وعلم الحساب بخاصة بكتابه المعروف باسم «الفخري» الذي أهداه إلى الوزير الملقب بفخر الملك، والذي يعده بعض المؤرخين أكمل الكتب التي وضعت في الشرق. وفي الباب العاشر من هذا الكتاب يورد الكرخي، ولأول مرة، براهين تتعلق بإيجاد مجموع مربعات ومكعبات الأعداد الطبيعية الأولى التي عددها ن. وعلى وجه التحديد فقد برهن على مايلي:

آ ـ

ب ـ 1 3+2 3+3 3+...+ن 3=(1+2+3+...+ن)2

كذلك، أورد الكرخي في هذا الباب بعض المتطابقات مثل:

5×5+4×6+3×7+2×8+1×9=5 3-[1 2+2 2+3 3+(5-1)2]

وفضلاً عن هذا الكتاب، فقد ألف الكرخي في علم الحساب كتباً أخرى بقي منها «كتاب الكافي». أما كتابه «البديع» فلم يعثر عليه على الرغم من التحريات الواسعة التي أجريت.

ـ ليوبولد كرونيكر (1823-1891)Leopold Kronecker ألماني انحدر من عائلة غنية، دخل جامعة برلين عام 1841 حيث تابع محاضرات كوستان لوجين ـ ديريخليه (1805-1859) Dirichlet وجاكوبي (1804-1851) Jacobi وجاكوب شتاينر (1863-1796)Steiner وتعنى أطروحته حول الواحدات العقدية (1845) بدراسة الأعداد الجبرية، وهو الموضوع الذي أولاه اهتمامه طوال حياته. وقد سافر كرونيكر إلى باريس عام 1853 حيث قابل شارل هرميت وتأثر بأفكار إيفاريست كالوا. وبعد عودته إلى برلين صار أستاذاً في جامعتها، وأصبح عضواً في أكاديمية العلوم هناك عام 1861، وتابع بحوثه في نظرية الأعداد. وقد كان يطمح إلى بناء علم الرياضيات بأكمله على مفهوم العدد الصحيح. ويروى عنه قوله: «لقد خلق الله العدد الصحيح، أما الباقي فمن صنع الإنسان».

وقد عرف كرونيكر بعداوته الشديدة لنظرية المجموعات التي ابتدعها جوج كانتورCantor.

ـ إرنست إدوارد كومر (1810-1893) Ernst Eduard Kummer ولد في بروسية وفقد أباه حين كان في الثالثة من عمره. تمكن بتضحيات والدته من الانتساب إلى جامعة اللاهوت في هال، وأصبح عام 1831 دكتوراً في الفلسفة. درّس بعدها في مدرسة ليكنتز Legnitz الثانوية حيث كان كرونيكر أحد تلامذته، ثم عين في جامعة برسلاو Breslau عام 1842. وفي عام 1855 خلف كوستان لوجين ـ ديريخليه في جامعة برلين، كما أصبح في العام نفسه عضواً في أكاديمية علوم هذه المدينة، وقد سمي عام 1868 عضواً مراسلاً في أكاديمية العلوم في برلين.

وقد برع كومر بوجه خاص في الهندسة الجبرية ونظرية الأعداد، وقادته بحوث سير وليام روان هاملتون (1805ـ 1865) في مجموعات الأشعة الضوئية إلى دراسة تطابق المستقيمات. إلا أن المفخرة الحقيقية لكومر تكمن باكتشافه «الأعداد العقدية المثالية». وقد توصل إليها عند بحثه لمبرهنة فيرما الشهيرة والتي تنص على أن المعادلة سن+عن=صن مستحيلة في حلقة الأعداد الصحيحة عندما يكون ن أكبر من 2. وقد تمكن ريتشارد ديديكند عام 1871، بالإفادة من أعداد كومر المثالية، من التوصل إلى أعداد ديديكند المثالية التي غزت الكثير من فروع الرياضيات الحديثة.

ـ إيفان ماتفييفتش فينوكرادوف Ivan Matveievitch Vinogradov ولد عام 1891 في ضواحي كالينين في روسية وتوفي عام 1983 في موسكو. عمل أستاذاً في جامعة بيرم Perm عام 1918، ثم في جامعة ليننغراد عام 1920. ومنذ عام 1932 أصبح مديراً لمعهد ستيكلوف للعلوم الرياضية. وكان عضواً في أكاديمية العلوم السوفييتية، وتعود شهرته العالمية إلى بحوثه في نظرية الأعداد. وفي عام 1923 شرع في بحوثه حول فرضية إدوارد وارنك (1734-1798) Edward Waring المتعلقة بعدد التمثيلات التي يُكتب بها عدد على شكل مجموع قوى صحيحة موجبة. وقد أثبت عام 1937 فرضية كريستيان كولد باخ (1690-1764)Christian Goldbach التي اقترحها عام 1742. وتقضي مبرهنة فينوكرادوف بأن كل عدد فردي كبير بقدر كاف هو مجموع لثلاثة أعداد أولية على الأكثر.

» الاعداد الطبيعية
» الاعداد الحقيقية
» الاعداد الحقيقية
» الاعداد الصحيحة
» الموارد الطبيعية